爱因斯坦68普朗克的辐射理论和比热容理论b量子比热公式

理论推导了紫外灾变的来源后，接下来爱因斯坦的工作就是分析上述的理论推导环节中的问题所在，并最终在适当的环节做出了量子化的条件设定。

首先，公式5：`Ev=（L3·ρv）/（8πv2）是可以保留的：

“为了得到普朗克的黑体幅射理论，人们可以如下进行。人们保留公式5，因而假设，用麦克斯韦的电学理论可以正确地阐明辐射密度和`Ev之间的联系。”

其次，放弃公式4：

`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N

，而保留物理体系的几率dW方程2和3：

“另一方面，人们放弃公式4，也就是说，人们假设，应用分子运动论必然导致同经验相矛盾（注：能量连续性）。然而，人们坚持热的一般分子理论中的方程2和方程3。”

做出取和舍之后，接着，爱因斯坦就做出了量子化的添加设定：

“在其中我们不是按照分子运动论置ω（E）=常数，而是对于所有同0，ε，2ε，3ε等等相差基远的E值，我们置ω=0。只有当E值在从0到0+α，从ε到ε+α（注：α的引入描述的是能量的微观涨落），从2ε到2ε+α等等之间(这里α比起ε来为无限小)，w才不等于0（注：在这里引入了量子化设定），而是这样：

∫ωdE（积分上下限α，0）=∫ωdE（积分上下限e+α，e）=∫ωdE（积分上下限2e+α，2e）…=A。

如人们从方程3所看到的那样，这个规定也包含了这样的假设，即认为所考察的基元结构的能量只取无限接近于0，ε，2ε等值的这样一些值。”

根据上述的对ω（E）的量子化设定，根据方程3： dW=E）/（RT）w（E）dE可得公式7：

`E=[∫E·e-（NE）/（RT）w（E）dE]/[∫e-（NE）/（RT）w（E）dE]=[0+A·ee（-Ne）/（RT）+A·2ee（-N2e）/（RT）+…]/[A+A·e（-Ne）/（RT）+A·e（-N2e）/（RT）+…]=e/[e（Ne）/（RT）-1]

（注：《爱因斯坦全集》注释13指出了一个书写或排版失误：“在第一个等式的分母中指数丢了一个因子E。”）

如果把爱因斯坦和普朗克等人现在坚持的能量子公式 e=Rβv/N加入到公式7，便得到公式8：

`E=（Rβv/N）/[e（βv）/（T）-1]

将公式8代入公式5求出能量辐射密度ρv，便得到了标志量子论诞生的、名闻天下的普朗克辐射公式9：

ρv=8πRβv3/{L3N·[e（βv）/（T）-1]}

所以说，科学史上整天强调普朗克辐射公式是普朗克凑出来的也不严谨，虽然最初公式的得出有凑的嫌疑，但公式的背后却有一套符合逻辑的理论基础存在，是能够从理论上推导出来的，这不普朗克辐射公式那别致的自然指数形式 e（βv）/（T）-1其实就是理论公式推导的自然结果嘛。

就着公式9，爱因斯坦发表了一番对量子论的评论：“公式9给出了普朗克振子的平均能量及其对温度的相依关系。

从上所述，可以很清楚地看出，热的分子运动论必须在哪个方面作修正，才可以同黑体辐射的分布定律相一致。也就是说，虽然人们过去一直设想分子的运动是同样严格遵循着我们的感官(所感觉到的)世界中物体运动所遵循的那种规律(我们基本上只要添补一个完全可逆性假设)，可是我们现在需要做这样的假设：

能够参与物质和辐射的能量交换的，以确定的频率振荡着的离子，它们能够采取的种种状态，少于我们(日常)经验中物体可能采取的各种状态（注：经典物理的连续性假设）。我们必须假设，能量交换的机制是这样的：基元结构的能量只能取0， Rβv/N， 2Rβv/N等值（注：即由普朗克辐射公式开启的量子化）。”

以上一段是对目前已完成工作的陈述，爱因斯坦当然不会满足于此，不然，就不会有这篇论文了，爱因斯坦以下一段文字阐述开启了量子化扩大适用范围的道路：

“可是我认为，我们不应当满足于这个结果。实际上，我们不得不提出这样的问题：

如果在辐射和物质的能量交换的理论中所假设的基元结构不能在现代的分子运动论的意义上来理解（注：连续性），那么，我们是否也应当修正用热的分子理论（注：量子论）来探讨的其他周期振荡实体的理论？

根据我的意见，答案是没有疑问的。如果普朗克辐射理论接触到了事物的核心（注：对普朗克量子论的极高评价），那么我们必须期望在其他热学理论领域中也可以发现现代分子运动论（注：经典分子运动论）和经验（注：黑体辐射等）之间的矛盾，这些矛盾可以用这里所采取的方法（注：量子化）来消除。在我看来，事实正如我试图在下面指明的那样。”

接下来，爱因斯坦就进入了本篇论文探讨的具体问题，固体的比热容问题（单位质量物体改变单位温度时吸收或放出的热量），首先是陈述了当时固体比热容的理论解释，其根基便为有误的公式4（`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N