因为各元的数目Z很大，则方程7开方级数展开便变为方程8：
S（z+1）=S（z）-S（z）/2Z+|（α）/√Z
[注：Z/（Z+1）可写成（Z+1-1）/（Z+1）=1+（-1）/（Z+1），将（-1）/（Z+1）当作x，按1+x的开方级数展开，并按Z很大的设定，即可以将Z+1约等于Z带入展开式，便得到了方程8。]
通过方程8可以看出，Z到Z+1的过渡中，在数值和方向上同样经过一个给定的数值S0的体系数Φ分为两部分：
Φ1为-S/2Z，意即所有曾经和S0有一个正距离≤S0/2Z的那些S，其为方程9：
Φ1=-S0·F（S0）/2Z
Φ2为|（α）/√Z，意即来自离S0的每一个任意的正距离和负距离Δ，这一部分和布朗运动中的均方位移类似，距离Δ处的数dN为方程10：
F（S0+Δ）dS=F（S0+Δ）dΔ
整篇论文最复杂和晦涩的地方就是讨论、计算方程10。
首先，只有小的Δ才是重要的，则方程10变为方程11：
{F（S0）+Δ·dF/dΔ}dΔ
在这一数目中，所有来自一个负Δ处的沿正方向通过S0的那些数值都有一个很大的|（α），满足方程12：
|（α）/√Z≧|Δ|
其数目为方程13：
∫j（|）d|（积分上下限：+∞，-Δ√Z）
同理，沿负方向进行的数目为方程14：
∫j（|）d|（积分上下限：-Δ√Z，-∞）
将方程13和方程14带入方程11可得Φ2为方程15：
Φ2=∫dΔ{F（S0）+Δ·（dF/dΔ）S0}∫j（|）d|（积分限：+∞，-Δ√Z）-∫dΔ{F（S0）+Δ·（dF/dΔ）S0}∫j（|）d|（积分限：-Δ√Z，-∞）
方程15分部积分为方程16：
Φ2=-∫dΔ{Δ·F（S0）+Δ2/2·（dF/dΔ）S0}（积分限：0，-∞）j（-Δ√Z）·√Z-∫dΔ{Δ·F（S0）+Δ2/2·（dF/dΔ）S0}（积分限：0，∞）j（-Δ√Z）·√Z
由于第1节已做的设定：
`|（平均）=∫|·j（|）·d|=0
以及Δ√Z=|，则方程16变为方程17：
Φ2=-1/2Z·（dF/dΔ）S0·∫|2·j（|）·d|=-1/2Z·（dF/dΔ）S0·`|2
将Φ1数值方程9和Φ2数值方程17带入前面论证的体系数Φ=0，可得微分方程18：
SF+`|2（dF/dS）=0
其解为方程19，即为高斯误差定律：
F=常量·e[-S2/2`|2]
第3节就此结束，这一节也是论文最复杂、晦涩的部分。
第4节题为《所有S（n）的组合的统计定律》，在这一节把第3节考察单独一个S的几率定律推广到了任意多维：
量S变为S（n），
定域dS变为dS（1）dS（2）…，
体系数变为dN=F（S（1），S（2）…）·dS（1）dS（2）…，
divΦ=0或dΦ/dS=0变为divΦ=0或Σ（n）?Φ（n）/?S（n）=0，
方程18变为方程19：
Φ（n）=S（n）F+`|n2·?F/?S（n）
设`|n2都相等，这意味着|n各个被乘上适当的常数，而对正弦和余弦函数则是自动满足这一简化处理的，如此，由方程19可得微分方程20：
Σ（n）?[S（n）F+`|n2·?F/?S（n）]/?S（n）=0
剩下的工作就是对方程20的求解，依然是比较复杂、晦涩的数学和物理讨论，首先，考虑遍及全部空间的积分，方程21：
∫1/F·Σ（n）[S（n）F+`|n2·?F/?S（n）]2·dS（1）…dS（n1）=∫Σ（n）[S（n）F+`|n2·?F/?S（n）]·[S（n）+`|n2·?logF/?S（n）]dS（1）…dS（n1）
方程21等号后第二项S（n）部分为方程21a：
∫Σ（n）{[S（n）F+`|n2·?F/?S（n）]·S（n）}dS（1）…dS（n1）=∫[F·Σ（n）S（n）2+`|n2·Σ（n）S（n）·?F/?S（n）]dS（1）…dS（n1）
对方程21a第二项进行分部积分，并考虑到无限远处F=0，方程21a变为方程21a1：
=∫F[Σ（n）S（n）2-|n2·n1]dS（1）…dS（n1）
而方程21a1第一项积分∫F·S（n）2·dS（1）…dS（n1）为平均值`S（n）2，根据第3节的方程19，`S2=`|2，由此，则方程21a1积分为0，即方程21a积分也为0；
方程21等号后剩余部分为方程21b：
∫Σ{[S（n）F+`|2·?F/?S（n）]·`|2·?logF/?S（n）}dS（1）…dS（n1）=∫`|2·logF·Σ{?[S（n）F+`|2·?F/?S（n）]/?S（n）}dS（1）…dS（n1）
根据方程20可知，方程21b积分为0；
因此，根据方程21a和方程21b积分都为0，则方程21积分也为0，由此，根据方程21的被积分式是二次方，积分为零必须是被积分式到处为零的原理得出方程19的Φ（n）为0，即：
S（n）F+`|2·?F/?S（n）=0
其解为方程22：
F=常量·e[-S（1）2/（2`|2）]·e[-S（2）2/（2`|2）]
如此便得出了论文最初设定的证明目的：
“于是我们就得到了关于F的统计定律，这和对每一个S（n）而言的高斯误差定律相同
…
于是，各S（n）值的一个组合的几率，简单地就是各S（n）的几率的乘积（注：符号方程2）。”
而论文最开始的针对某个给定空间点电磁力的傅里叶级数解析表达式方程1热辐射傅里叶级数系数An和Bn与最终推导的S（n）的关系为：
S（n）= An/an，Bn/an
an是一个数学常数，不改变几率关系，由此，则证明了论文开始提出的研究目的：热辐射傅里叶级数各个系数事实上就是独立的，满足方程2，即各An和Bn值的一个组合的几率dW必然简单地就是各单个系数的几率之积，论文中最后结论的意思与此一致，但比较学术：
“这样也就证明了方程(2)的有效，以及在描述热辐射的傅里叶级数的各个系数之间建立一种几率论关系式的不可能性。”
这篇论述热辐射傅里叶级数系数独立性的论文《论一条几率计算定理及其在辐射理论中的应用》由爱因斯坦和路德维希·霍普夫（Ludwig Hopf，1884年-1939年）合著，《物理学年鉴》1910年8月29日收到，最终于12月20日发表。