然后他意识到了……彼岸遥不可及，他们穷尽一生，甚至都无法点亮海上的灯塔。

邓布利多此时的眼神看上去却似乎多出了几分悲伤：“安格尔，无论如何，不要害怕，也不要被心中极端的想法所控制……我不想看到……”

剩下的话他没有再说下去。

但是安格尔想，他大概是想起了格林德沃。

邓布利多刚才念的那首诗，说不定就是在1899年，他们曾经在戈德里克山谷，在像今天这样的月色下共同谱写。

“好了，安格尔……回神！我们继续上课吧！”

“魔法阵中的曲线元素也蕴含着丰富的数学知识……像抛物线、双曲线等圆锥曲线在一些复杂魔法阵中偶尔出现。抛物线具有独特的光学性质，在魔法阵的解读中，可以想象为对魔力的汇聚或发散路径。”

“从数学表达式来看，抛物线是二次函数的图像，其对称轴和顶点等特征可以与魔法阵的能量聚集点或核心区域相关联。”

“魔法阵里的图形比例同样值得研究……某些魔法阵中不同部分的大小比例是遵循特定数值关系的，例如黄金分割比例，这个在美学和自然现象中广泛存在的比例，当它出现在魔法阵中时，也许暗示着魔力在不同区域分配的最优方案。这种比例关系使得魔法阵在视觉上和想象中的能量流动上都呈现出一种和谐的状态。”

“而等魔法阵进入到更难的阶段，也就是在二纬的平面上难以阐述，需要用到立体图形的时候，往往会考虑球形……球体作为三维空间中最完美的对称体，类比于二维的圆形，可能代表着全方位、无死角的魔力防护或者能量辐射。”

在邓布利多的手上，一个圆形的光球出现。

一些白色的光线在光球之中不断变幻，但不管怎么变，他们的长度和形状，都是完全一样。

“然后是正方体，正方体的六个面、八个顶点和十二条棱形成了稳定的空间结构，可被想象成构建三维魔法空间的基本框架，魔力在这个立体的网络中穿梭和相互作用，其内部空间和表面都可能是魔力活动的重要场所。”

邓布利多手中的圆球变成了正方体。

“而且，魔法阵的动态变化也可以用数学模型来描述。比如魔法阵的旋转、缩放等变化……旋转可以用角度和角速度等概念来衡量，如果将魔法阵看作一个整体的动态系统，其旋转方向和速度可能会影响魔力的流转方向和强度。”

“缩放则涉及到比例变化，当魔法阵在想象中放大或缩小时，魔力的总量或者密度可能会相应地改变，这类似于数学中函数的伸缩变换。”

“从向量的角度来看，魔法阵中的线条可以赋予方向，代表魔力的流向。向量的加法和分解可以解释当多条魔力线路交汇时，魔力是如何合成或者分散的。”

“在一些大型的魔法阵组合场景中，不同魔法阵之间的相互作用也可以看作是向量场的相互影响，它们之间的夹角、长度关系等都能与魔法阵相互影响的效果相关联……”

“就像是守护霍格沃茨的魔法阵吗？我在《霍格沃茨一段校史》之中读到过。”安格尔问道。

邓布利多点了点头：“是的，可以这么说，这是一种很复杂的变化，但是当初四巨头做的很好。“

“只是可惜，那些魔法阵至少有一半都已经失传了，在漫长的历史中，能传承这门学问的人，却也没有几个……”

安格尔脸上不由也流露出了几分惋惜，伴随着时间的流逝，巫师界失传的东西的确已经很多了。

到现在，之前和邓布利多那段对话带给他情绪的影响已经消失了。

邓布利多却没有被这些事情影响情绪——其实他原本以为，自己研究了这么多年的东西，最后除了出版几本书之外，只会被自己带进坟墓中。

能出现安格尔这个传承者，已经是意外之喜了。

“如果听不懂了就说出来，我们可以慢慢来……通过这种方式的确可以让你更快学会魔法阵的知识，但如果为了这个去学习麻瓜的数学，那也是一件没有必要的事情。”

安格尔的脸上浮现出了一抹自信的微笑：“老师你接着讲吧，以前在家里，我没事情的时候就喜欢看书……不只是霍格沃茨的课本我看完了，麻瓜学校的课本，我也看了很多。”

“至少听懂，我自认为还是没问题的。”

于是邓布利多继续讲——

“先看色彩学……在色彩学与魔法阵的关联方面，也存在着有趣的数学原理，色彩可以用数值来表示其色调、饱和度和亮度等信息，在魔法阵中，不同颜色的区域对应着不同的魔力属性或强度。”

“从数学的量化角度来看，高饱和度的色彩可能代表着高浓度的魔力，而色彩的混合可以类比于向量相加或者函数的叠加，当两种代表不同魔力属性的色彩在魔法阵中混合时，新产生的色彩所代表的魔力属性可能是两种原始魔力属性的复杂组合，其效果可以通过特定的数学公式来设想和描述。”

“就像是这样……”

“噢，对了，还有分形几何……一些复杂的魔法阵图案具有自相似性，这与分形的特征相符。比如，魔法阵的局部图案在不断放大后呈现出与整体相似的形状和结构。这种分形结构可能暗示着魔力在不同尺度下的重复性和递归性。从计算的角度，分形的维度是一个非整数的值，这可以为魔法阵中魔力的层次深度和复杂程度提供一种新的度量方式，使得魔法阵在微观和宏观层面都有更丰富的解读可能性。”

“从数论的角度来看，魔法阵中的元素数量、图案重复次数等可能与特定的数字规律相关。例如，质数在某些古老的魔法阵传说中具有特殊的意义。如果魔法阵中的线条数量、图形数量是质数，这或许象征着魔力的不可分割性或独特性。一些魔法阵的构建可能遵循特定的数列规律，如斐波那契数列，这种数列所具有的黄金比例特性和递推关系可能与魔法阵中魔力的渐进变化、能量的积累和释放模式相呼应。”

“在魔法阵与概率学的联系上，设想在某些魔法阵启动或发挥作用的过程中，存在着随机因素。例如，魔法阵中的某个效果触发可能类似于掷骰子的概率事件。不同的线条交叉方式、图形组合可能决定了特定魔力效果出现的概率。从数学模型来看，可以用概率分布函数来描述魔法阵中各种魔力结果出现的可能性，这为魔法阵的不确定性和多样性在理论上提供了一种新的理解途径。”

“在拓扑学与魔法阵的联系中，魔法阵的图形可以被看作拓扑空间，一些看似不同的魔法阵在拓扑变换下可能是等价的，比如通过拉伸、弯曲等操作而不进行切割或粘贴的情况下，这种拓扑等价性意味着在魔力本质层面它们是相同的，魔法阵中的孔洞、环等拓扑特征可能与魔力的通道或特殊的能量储存形式相关，例如有孔洞的魔法阵可能代表着魔力在不同维度间穿梭的路径，这些路径的连通性和环绕数等拓扑概念可以用来描述魔力流动的复杂关系。”

“从群论角度来看，魔法阵中的元素变换可以构成群。例如魔法阵的旋转对称操作可以形成一个旋转群，这些操作满足群的封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。群的表示理论可以进一步分析这些对称操作如何影响魔力的表现形式。不同的群结构可能对应着不同类型魔法阵的魔力属性和相互作用规律，这为分类和理解魔法阵之间的差异与联系提供了一种抽象的数学框架。”

“在复变函数与魔法阵的关联方面，魔法阵中的某些图案和能量流动可以用复平面上的函数来描述。复数的实部和虚部可以分别对应魔力的不同维度或属性，如虚实两种魔力类型。复变函数中的解析函数、奇点等概念可以与魔法阵中的特殊点和能量异常区域相关联。例如，奇点附近的魔力可能呈现出无限大或特殊的变化趋势，就像复变函数在奇点处的特殊性质一样，这为研究魔法阵中局部能量突变和特殊魔力现象提供了数学模型。”

“从微积分的视角，魔法阵的能量变化率可以用导数来表示。如果把魔力看作是随时间或空间变化的量，那么其在魔法阵不同位置或不同时刻的变化快慢可以通过求导运算来分析。积分则可以用来计算魔法阵在一定区域内的魔力总量，比如对魔法阵中某一区域的魔力密度函数进行积分，可以得到该区域蕴含的魔力值，这为精确量化魔法阵的能量提供了可能的方法。”