第13节分形和混沌
标度对称，放大缩小后保持不变，换而言之，对象的一部分和整体相似。一朵白云，取其一半，还是一朵白云。而通常的物体，比如一个汽车，取其一半，只是汽车零件而已。但是，在地球上任何实际的物体，不能持续按照标度对称的方式，反复取其一半。因为到达分子阶段，物体的外在形式已不存在。在我们的想象中，或理论思考中，我们可以认为这样一种局部和整体相似的情况存在，不必反复进行放大或缩小。
海螺的体型，幼年和成年完全可以认为是放大缩小关系。但是人的体型，幼年和成年，完全不同。比如婴儿的眼睛位于头部中间，成人却是位于头部三分之二。婴儿的头部和身高比例是1：5，随着年龄增加，头部身高比例降低到1：7。对动物而言，多数都不满足幼年和成年身体尺寸比例恒定。前面曾阐述过动物的身体重量、摄入食物量、散热状况、身体骨骼承受能力相互之间的关联。因此按比例放大是不可能存在。而海螺类似的动物，其身体类似一个扁平的饼状，螺旋状的管道形成身体结构，内部并无骨骼，移动需求也可以忽略。并且随着体型变大，螺管的厚度也在增加。和其他无恒定比例的动物结构完全不同。
树木和动物有很大区别。每颗树都有根部，依赖根部从土壤获得的水分和矿物质。每根树枝依赖母枝提供养料，母枝对树枝而言就是土壤。则树枝的成长过程和树木本身完全类似，仅仅是规模不同。而动物的身体各部分功能不同，整体才能组成生命体。且各部分的生长方式完全不同，对身体而言，不存在局部和整体类似的生长状况少数动物，比如蚯蚓，身体分为两段，可以独自继续成长。这类型的动物接近标度对称。
自然界中，局部和整体相似处处存在。一个树枝，上有分枝，分枝又有小枝，小枝还有树叶。这个和树本身就很相像。从卫星角度观察海岸线，曲曲折折。从飞机上观看海岸线，曲曲折折。走在海边，看海水的边缘，曲曲折折。虽然不尽相同，但是曲曲折折的形象完全雷同。攀登山峰，总是看到更远处的高山。待到登上高峰，发现远处连绵不绝的山脉继续在前方蔓延。虽然形状稍有不同。但是连绵不绝形成的山色涂层，如同画布上的色带一样，颜色逐渐递浅。虽不是秋水共长天一色，却是极目楚天舒的效果。无论在那里登山，层层叠峦的风景依然历历在目，禁不住让人喊道：我又回来了。
现代电脑游戏的效果越来越逼真，山脉、云彩、森林、星球都很难分辨是照片或电脑生成。这些外在差异巨大的对象，以计算机的视角来看区别很小，整体的计算机描述没有区别，仅仅是若干细节的数值不同。我们来观看如何生成雪花的轮廓。线段长为3，对其三等分，补充两个长度为1的线段，令补充的线段和三等分中间的线段组成一个正三角形。然后去掉线段三等分中间的一段。我们把这个过程称为构造过程。现画一个正三角形，对每一个边进行构造过程，则产生12个线段，对新生成的12个线段再进行构造过程。则产生48个线段。对新生成的线段重复进行构造过程，持续不断。最后就生成了一朵雪花的轮廓。最早由瑞典人Koch构造，称为Koch雪花。
Koch雪花有什么特点呢？每构造一次，线段的长度就为原长度的4/3倍。重复进行下，则线段长度无限增加。雪花的面积最终是多少呢？设原三角形面积为1，最后的雪花面积为1.6。面积是有限值，而长度无限增加！通常的线段长度都是有限的，而Koch构造的线段长度无限，按照前面定义的一维长度、二维面积、三维体积，Koch的线段并不满足通常的维数定义。虽然是线段，不可能是二维，但长度无限，也不是一维情况。为了能够使用维数来定义对象，我们取消维数是整数的要求。那么Koch线段的维数就处于一维和二维之间的某个数值！标度对称中的增加系数，就是构成过程进行一次线段长度增加的比例4/3。
观察人体的肺泡，前面曾介绍，为了充分进行气体交换，人体的肺泡数量多而体积小，在总体积不变的情况下，肺泡面积大幅度增加。如图为肺泡示意图。可以看到，和树木的情况类似，气管是树干，支气管是树枝，支气管下分的小管道是小枝，肺泡是树叶。如果这个过程持续分散下去，最终肺泡面积会达到无限，但实际的生物世界总是存在限制，但从思考的角度可以认为肺泡也是一类型的标度对称。其特征是体积有限，但面积无限！因此人体肺组织的维数就是介于二维和三维之间。标度对称中的增加系数，就是肺泡每级分割空间所增加的面积比例。
现在我们命名这些维数居然不是整数的对象，称为分形对象。可发现，这些对象仅仅是满足标度对称的特定分类。标度对称的增加系数则依赖构造过程中的表征增加比例，比如长度增加比例。
思考：
1.在现有世界中，我们可以观察的静态对象最大维数为3。当维数不限定为整数后，可观察大量维数03之间的对象。那么是否存在维数大于3的对象？膨胀的宇宙算否？
2.Koch线段的标度对称增加系数为4/3，维数介于1和2之间，能否使用4/3来描述其维数？回忆我们对维数的定义，这样的增加系数是否满足重的要求？对于肺泡这样的对象，如何使用增加系数来定义维数？以汽车的尾气净化装置中的铂颗粒的分形过程为例，尝试给出维数数值。
3.如右图构造，对线段取三等分，去掉中间的一段。重复构造下去，则线段的长度为0！此时线段的维数小于1。线段最后变成无数个离散的点，线段已经无法维持，成为点集。以德国人Cantor的名字命名。
4.如右图构造，在立方体的某个面上，九等分为九个正方形，挖掉中心正方形对应的立方体，对其他五个面也同样进行挖掉中心立方体。也就是对立方体二十七等分，挖掉各面六个，最后将立方体中心的小立方体颜色涂黑的部分也挖掉。以上操作完成一次构造。反复进行同样构造，最后立方体的体积为0，面积无限，变成一块海绵，以波兰人Sierpinski的名字命名。尝试给出维数。观察面筋、冻豆腐、雪魔芋。
5.皮蛋，又称松花蛋，在蛋白表面存在若干花纹，类似松花。形成的原因称为粘性指进viscousingering，因流体粘度不同，粘度小的流体渗透进粘度大的流体时产生的随机分叉状况。皮蛋的蛋白液变性，失去生物活性，成为凝固状蛋白，通常称这种现象为中毒。早期皮蛋的外包药剂中含有铅的氧化物，俗称密陀僧。现代皮蛋工艺中去掉了铅，采用锌或铜的氧化物。
分形的构造过程中，重复进行构造，每次构造的规模不同，依次递减，我们将这种递减规模的重复构造行为称为递归。标度对称和递归是对同一种现象的不同视角描述：标度对称侧重整体特征，是静态描述；递归侧重实现过程，是动态过程。事实上，规模的递减是表面现象，递归的本质是：每次递归都在上次递归的结果上进行。