也可以写成方程6a的形式:
R=Ha·i/m=Hi·i
其中, Ha是外在磁场强度,i是通过物质条带的传导电流,m是磁导率,R是由于电流流过磁场对条带的体积元施加的力R; Hi= Ha/m,论文中只是称其为“场强”,应该是外在磁场强度引起的条带内磁场强度。
(注:爱因斯坦和劳布的两篇关于运动媒质电动力学的论文符号方面与现代通用的不一致也是理解论文的一大障碍,更麻烦的是论文中用的符号很别致,不常见。而且这篇论文里不时强调磁场强度和磁感应强度不同,但也没指出具体的不同之处,更令人忧心的是论文语境中的磁场强度和磁感应强度概念和现代的也未必一样。论文里磁力、电力和磁场强度、电场强度的说法也是混用,就是论文引用的高斯定律等其形式与现代教科书的也不样,对现代的小白来说,这些都是理解论文的障碍。
本文的符号采用的现代通用的符号。)
接下来,论文又设计了一个具体的场景二——一个被空虚空间所包围并被电流 I穿过的、沿坐标系的X轴在两个方向无限延伸的、与X轴垂直磁化的、硬磁体圆柱形导体,导体的材料常数以及磁场矢量(论文称为“磁力 H”)与x无关,为y和z的函数——并计算了其R值,即由于电流流过磁场对条带的体积元施加的力。这个场景中没有外在的磁场作用在导体上,目的是证明距导体很远处的磁力 H为0。
首先,根据磁场强度对单位体积的物质所施加的力的X分量 Fmx方程4和论文第二部分开始提出的作用在载流体积元上的体积力 Fs=IH/c,可得在Z轴方向作用于导体单位长度上的总力R为方程7:
R=∫(Dy·?Hz/?y+Dz·?Hz/?z)d|+∫(Ix·Hy·d|)/c
其中,d|是YZ平面的表面元。
论文第二部分剩下的工作就是对方程7积分过程的具体分析:
首先,方程7第一项有如下关系式7a(微积分运算法则):
Dy·?Hz/?y+Dz·?Hz/?z=?(Dy·Hz)/?y+?(Dz·Hz)/?z-Hz(?Dy/?y+?Dz/?z)
由于力在无限远处等于零,则关系式7a前两项对YZ平面中的积分为0;
由于散度 divB=0,关系式7a第三项可以被替换,则方程7第一项积分变为方程7b:
∫Hz(?Hy/?y+?Hz/?z)d|
方程7b有如下关系式7c(微积分运算法则):
Hz(?Hy/?y+?Hz/?z)=?(Hy·Hz)/?y+(?Hz2/?z)/2-Hy·?Hz/?y
关系式7c前两项积分为0,根据麦克斯韦方程,第三项可变为关系式7d:
-Hy·(Ix+?Hz/?z)/c
由上述7a到7d的论证,方程7最终变为方程7e:
R=(-1/c)·∫Hy·(Ix+?Hz/?z)d|+(1/c)·∫Ix·Hy·d|=(-1/c)·∫Hy·(?Hy/?z)d|=(-1/2c)·∫(?Hy2/?z)d|
因为力在无限远处为0,则方程7e最后的积分依然为0,因此,这就证明了设计场景二的目的:没有外在的磁场作用在导体上,则距导体很远处的磁力 H为0。
之后,论文以一段文字阐述总结了上述场景一和场景二的理论论证:
“这样,在确定了作用在由一传导电流穿过的物体上的力之后,从电子理论的观点出发,通过指出极化电流和传导电流对于电动力学作用是完全等价的,我们就得到了作用在由一极化电流所渗透的物体上的力。”
考虑到电现象和磁现象的对偶性,在电场中施加在由一磁极化电流所渗透的物体上的力为方程8:
Fa=IH/c+(H·?p/?t)/c+(E·?M/?t)/c
论文第二部分就此结束,第三部分题为《作用和反作用的相等》,这一部分总要综合前面两部分的内容,给出了作用在每单位体积物质上有质动力X分量的总的表达式,其为方程9:
Fx=Ex·divD+Px·?Ex/?x+Py·?Ex/?y+Pz·?Ex/?z+Dx·?Hx/?x+Dy·?Hx/?y+Dz·?Hx/?z+(1/c)·(IH)x+(1/c)·(H·?P/?t)x+(1/c)·(E·?D/?t)x
也可以写成方程9a:
Fx=Ex·divE+(1/c)·(IH)x+(1/c)·(H·?D/?t)x+Dx·divH+(1/c)·(E·?B/?t)x+?(Px·Ex)/?x+?(Py·Ex)/?y++?(Pz·Ex)/?z+?(Dx·Hx)/?x+?(Dy·Hx)/?y+?(Dz·Hx)/?z-(1/c)·?(E·H)x/?t
利用麦克斯韦方程,用旋度 curlH和 curlE代替(s+?D/?t)/c和(?B/?t)/c,经过简单的变换,方程9a变为方程9c:
Fx=?Xx/?x+?Xy/?y+?Xz/?z-(1/c2)·?Бx/?t
其中,各参数如下:
Xx=-(E2+H2)/2+Ex·Dx+Hx·Bx,
Xy=Ex·Dy+Hx·By,
Xz=Ex·Dz+Hx·Bz,
Бx=x(EH)x。
相应的方程对有质动力的其他两个分量也成立。
通过将9c在无限的空间中积分,如果场矢量在无限远处等于零,则得到方程9d:
∫Fxdτ=-(1/c2)·∫τ·dБx/dt
(注:方程右边后来修正为“总时间导数在积分号前”。)
方程9d说明基于引入电磁动量,有质动力满足作用与反作用相等的定律。
爱因斯坦和劳布第二篇关于运动媒质的电动力学论文《关于施加于静止在电磁场中的物体上的有质动力》就此结束,此文1908年5月7日完成,《物理学年鉴》5月13日收到,最终于7月7日与运动媒质的电动力学论文首文《关于动体的基本电磁方程》一起发表。